概率论与数理统计知识整理(2)--二维随机变量的分布
前面讲到的随机变量都是一维的，但是某些试验中随机变量可能有多个，这里主要讨论二维的随机变量。
联合分布函数
假设 \(X\) 和 \(Y\) 都是随机变量，那么我们定义其分布函数如下：
\[ F(x,y) = P ((X \le x)\cap(Y \le y)) = P (X \le x, Y \le y )\]
上面的 \(F(x,y)\) 称作随机变量(X,Y)的分布函数，也叫作联合分布函数。
离散型随机变量联合分布
如果上面的 \(X\) 和 \(Y\) 都是离散随机变量，那么对于 \((X,Y)\) 的所有取值可记为
\[P(X=x_i, Y=y_i) = p_{ij},i,j=1,2,....\]
上面的所有P的取值为二维离散随机变量的分布律，也叫联合分布律。直观用表格表示如下所示
连续型随机变量联合分布
类似地，如果上面的X和Y都是连续随机变量，那么分布函数可定义为
\[ F(x,y) = \int_{-\infty}^y\int_{-\infty}^xf(u,v)dudv \]
其中 \(f(x,y)\) 被称为概率密度函数，也叫联合概率密度函数。
其性质与一维随机变量的概率密度函数非常相似
\[f(x,y) \ge 0\]
\[\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dxdy = F(\infty,\infty)\]
3.设 \(G\) 是 \(xOy\) 平面上的区域，点 \((X,Y)\) 落在G内的概率为
\[P((X,Y)\in G) = \int\int f(x,y)dxdy\]
4.若 \(f(x,y)\) 在点 \((x, y)\) 连续，则
\[\frac{\partial^2F(X,Y)}{\partial x \partial y} = f(x, y)\]
边缘分布函数
二维随机变量 \((X,Y)\) 作为一个整体的时候，其分布函数为联合分布函数，但是 \(X\) 和 \(Y\) 是随机变量，各自也有分布函数，将其分别记为 \(F_X(x),F_Y(y)\)，称为随机变量 \((X,Y)\) 关于 \(X\) 和关于 \(Y\) 的边缘分布函数。
边缘分布函数可通过联合分布函数确定，关系如下
\[F_X(x) = P(X \le x) = P(X \le x,Y \lt \infty) = F(x, \infty)\]
即
\[F_X(x) = F(x,\infty)\]
也就是说在联合分布函数 \(F(x,y)\) 中令 \(y \rightarrow \infty\) 即可得到边缘分布 \(F_X(x)\), 同理\[F_Y(y) = F(\infty, y)\]
下面分别以离散型随机变量和连续性随机基量为例说明
离散型随机变量边缘分布
假如 \(X\) 和 \(Y\) 是离散型随机变量，那么随机变量 \((X,Y)\) 关于 \(X\) 和关于 \(Y\) 的边缘分布定义下
\[p_{i.} = \sum_{j=1}^{\infty} p_{ij} = P(X = x_i), i=1,2,3.....n\]
\[p_{.j} = \sum_{i=1}^{\infty} p_{ij} = P(Y = y_j), j=1,2,3.....n\]
上面的式子分别称为随机变量 \((X,Y)\) 关于 \(X\) 和关于 \(Y\) 的边缘分布率。
连续型随机变量边缘分布
假如 \(X\) 和 \(Y\) 分别是连续性随机变量，那么随机变量 \((X,Y)\) 关于 \(X\) 的边缘分布函数定义为
\[F_X(x) = F(x,\infty) = \int_{-\infty}^{x}(\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy)dx\]
而
\[ f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy\]
则被称为随机变量 \((X,Y)\) 关于 \(Y\) 的 边缘概率密度函数
条件分布
由条件概率可以比较容易推导出条件分布的含义，其定义如下：
离散型随机变量的条件分布
对于离散型随机变量，条件分布的定义如下：
设 \((X,Y)\) 是二维离散型随机变量，对于固定的 \(j\)，若 \(P(Y=y_j) \gt 0\), 则称 \[P(X = x_i|Y= y_j) = \frac{P(X = x_i, Y=y_j)}{P(Y=y_j)} = \frac{p_{ij}}{p_{.j}}, i = 1,2,3\] 为在 \(Y=y_j\) 条件下随机变量X的条件分布律。同理，交换 \(X\) 和 \(Y\) 的位置得到的是在 \(X=x_i\) 条件下随机变量 \(Y\) 的条件分布律。
连续型随机变量的条件分布
对于连续型的随机变量，条件分布的定义如下：
设二维随机变量 \((X,Y)\) 的概率密度函数为 \(f(x,y),(X,Y)\) 关于 \(Y\) 的边缘概率密度为 \(f_Y(y)\) .若对于固定的 \(y，f_Y(y) >0\) ，则称 \(\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\) 为在 \(Y=y\) 的条件下 \(X\) 的条件概率密度。记为 \[f_{X|Y}(x|y) = \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\]
有了条件概率密度(就是条件概率密度函数)，我们也可以定义出条件分布函数如下
\[\int_{-\infty}^x f_{X|Y}(x|y)dx = \int_{-\infty}^x \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}dx\]
上面的函数为在 \(Y=y\) 的条件下 \(X\) 的条件分布函数，记为
\(F_{X|Y}(x|y) = P(X \le x| Y=y)\)
相互独立的随机变量
两个随机变量 \(X,Y\) 相互独立的充要条件如下：
\(F(x,y) = F_X(x)F_Y(y)\)
上面的 \(F(x,y),F_X(x),F_Y(y)\) 分别是二维随机变量的联合分布函数及关于 \(X\) 和 \(Y\) 的边缘分布函数。
除了通过分布函数，对于具体的连续型随机变量或离散型随机变量，还可通过概率密度函数和分布律来定义相互独立的条件。
对于连续型随机变量，上面的式子等价于
\(f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)\)
式子中的 \(f(x,y),f_X(x),f_Y(y)\) 分别为 随机变量 \((X,Y)\) 的条件概率密度函数和边缘概率密度函数。
对于离散型随机变量则有：
\(P(X = x_i, Y = y_j) = P(X=x_i)P(Y=y_j)\)
二维随机变量的函数的分布
在讨论一维随机变量的分布函数的时候，也讨论了一维随机变量的函数的分布函数，同样对于二维随机变量，我们也可以讨论其函数的分布函数。下面主要讨论 \(Z=X+Y\)，\(Z=XY\)，\(Z=Y/X\)，\(M=max(X,Y)\)，\(N=min(X,Y)\) 这几个函数的分布函数（\(X，Y\) 为相互独立的随机变量），这里主要给出具体的公式，证明省略。
\(Z = X + Y\) 的分布
设 \((X,Y)\) 是二维连续型随机变量，其概率密度函数为 \(f(x,y)\)， \(Z = X+Y\)仍然为连续性随机变量，其概率密度函数为
\[f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f(z-y,y)dy\] 或 \[f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,z-x)dx\]
当 \(X,Y\) 相互独立时，其边缘概率密度函数具有以下性质
\(f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)\)
因此上面的式子也可以化成下面的形式
\[f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(z-y)f_Y(y)dy\]
\[f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)f_Y(z-x)dx\]
\(Z=XY\) 和 \(Z=Y/X\) 的分布
设 \((X,Y)\) 是二维连续型随机变量，其概率密度函数为 \(f(x,y)\)， \(Z = \frac{Y}{X},Z = XY\)仍然为连续性随机变量，其概率密度函数为
\[f_{Y/X}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} |x|f(x,xz)dx\]
\[f_{XY}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|x|}f(x,z/x)dx\]
当 \(X,Y\) 相互独立时，同样有下面的性质
\[f_{Y/X}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} |x|f_X(x)f_Y(xz)dx\]
\[f_{XY}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|x|}f_X(x)f_Y(z/x)dx\]
\(M = max(X,Y)\) 和 \(N = min(X,Y)\) 的分布
讨论 \(max(X,Y)\) 和 \(min(X,Y)\) 的分布的时候， 一般假设 \(X, Y\) 相互独立，因为这样才有下面的性质。
对于 \(M = max(X,Y)\) 的分布有
\(F_{max}(z) = P(M \le z) = P(X \le z, Y \le z) = P(X \le z)P(Y \le z)\)
由于 \(X\) 和 \(Y\) 相互独立，因此有
\(F_{max}(z) = F_X(z)F_Y(z)\)
同样对 \(N = min(X,Y)\) 有
\(F_{min}(z) = P(N \le z) = 1 - P(N \gt z) = 1 - P(X > z)P(Y>z)\)
即
\(F_{min}(z) = 1 - (1 - F_X(z))(1 - F_Y(z))\)
推广到 \(n\) 个相互独立的随机变量有下面的性质
\(M = max \lbrace X_1,X_2...,X_n \rbrace\) 及 \(N = min\lbrace X_1,X_2...,X_n \rbrace\) 的分布函数分别为
\[F_{max}(z) = F_{X_1}(z)F_{X_2}(z)...F_{X_n}(z)\]
\[F_{min}(z) = 1 - (1 - F_{X_1}(z))(1 - F_{X_2}(z))...(1 - F_{X_n}(z))\]
而当 $ X_1,X_2...,X_n $ 独立同分布的时候，上式变为如下所示
\[F_{max}(z) = [F(z)]^n\]
\[F_{min}(z) = 1 - (1 - F(z))^n\]