随机变量的统计特征主要包括期望，方差，协方差以及相关系数。
期望
离散型随机变量：$$E(X) = \sum_{k=1}^{ +\infty}p_kx_k$$
连续型随机变量：$$E(X) = \int_{-\infty}^{ +\infty} {xf(x)dx} $$
期望有以下性质(C为常数,其他均为随机变量):
$E(C) = C$
$E(CX) = CE(X)$
$E(X+Y) = E(X)+E(Y)$
$E(XY) = E(X)E(Y) $ （$X,Y$ 相互独立）
前面讨论随机变量的分布函数时，同时讨论了随机变量的函数的分布函数，这里同样对于随机变量 $X$ 的函数的期望进行讨论，其定义及求法如下所示。
设Y是随机变量X的函数：$Y=g(X)$(g是连续函数)
(1) 如果 $X$ 是离散型随机变量，它的分布律为
$$P(X=x_k) = p_k, k = 1,2,…$$
若 $\sum_{k=1}^{\infty}g(x_k)p_k $绝对收敛，则有
$$E(Y) = E[g(X)] = \sum_{k=1}^{\infty}g(x_k)p_k $$
(2) 如果 X 是连续型随机变量，它的概率密度函数为 $f(x)$, 若 $\int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx$ 绝对收敛，则有
$$E(Y) = E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)dx$$
这个定理的重要意义在于求 $E(Y)$ 的时候，不用再求 Y 的分布律或概率密度函数，直接利用 X 的分布律或概率密度函数即可。
方差
方差的原始定义为
$D(X) = E[(X-E(X))^2] = E(X^2) - E(X)^2$
方差有以下性质：
$D(C) = 0$
$D(CX) = C^2D(X)$
$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2E([X-E(X)][Y-E(Y)]) $
如果 $X，Y$ 是相互独立的，那么$E([X-E(X)][Y-E(Y)]) = 0$, 当这一项不为0的时候，称作变量 $X,Y$ 的协方差。
常见分布的期望和方差
前面我们提到了若干种典型的离散分布和连续分布，下面是这几种分布的期望和方差，记住这些常用的期望和方差能够在使用的时候省去推导过程。
| 分布类型 | 概率密度函数 | 期望 | 方差 |
|---|---|---|---|
| 伯努利分布~$B(1,p)$ | $p = p^x(1-p)^{1-x}$ | $p$ | $p(1-p)$ |
| 二项分布~$B(n,p)$ | $p_i = C_n^i p^i(1-p)^{n-i}(i=1,2,3…)$ | $np$ | $np(1-p)$ |
| 泊松分布~$P(\lambda)$ | $p_i = \frac{\lambda^ki e^{-\lambda}}{i!}(i = 1,2,3,) $ | $\lambda$ | $\lambda$ |
| 均匀分布~$U(a,b)$ | $f(x) = \frac{1}{b-a}$ | $\frac{a+b}{2}$ | $\frac{(b-a)^2}{12}$ |
| 正态分布~$N(\mu,\sigma^2)$ | $f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ | $\mu$ | $\sigma^2$ |
| 指数分布~$E(\lambda)$ | $$f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-x\lambda} &{x>0} \\ 0&{其他}\end{cases}$$ | $\frac{1}{\lambda}$ | $\frac{1}{\lambda^2}$ |
切比雪夫不等式
切比雪夫不等式的定义如下：
设随机变量 $X$ 具有数学期望 $E(X) = \mu$, 方差 $D(X) = \sigma^2$, 则对于任意正数 $\epsilon$, 下面的不等式成立$$P(|X-\mu|\ge \epsilon) \le \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}$$
从定义可知，切比雪夫不等式也可写成如下的形式：
$$P(|X-\mu| \le \epsilon) \ge 1 - \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}$$
切比雪夫不等式的一个重要意义在于当随机变量 X 的分布未知，只知道 $E(X)$ 和 $D(X)$ 的情况下，对于事件 $(|X-\mu| \le \epsilon) $ 概率的下限的估计。
协方差
协方差表达了两个随机变量的相关性，正的协方差表达了正相关性，负的协方差表达了负相关性。协方差为0 表示两者不相关，对于同样的两个随机变量来说，计算出的协方差的绝对值越大，相关性越强。
协方差的定义入下:
$Cov(X,Y) = E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}$
由定义可以知下面等式成立:
$Cov(X,Y) = Cov(Y,X)$
$Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$
协方差有以下性质：
$Cov(aX,bY) = abCov(X,Y)$（a，b是常数）
$Cov(X_1+X_2, Y) = Cov(X_1, Y) + Cov(X_2,Y)$
假如我们现在有身高和体重这两个未知变量，对于一系列的样本我们算出的的协方差为30，那这究竟是多大的一个量呢？如果我们又发现，身高与鞋号的协方差为5，是否说明，相对于鞋号，身高与体重的的相关性更强呢？
为了能进行这样的横向对比，我们计算相关系数(correlation coefficient)， 相关系数相当于是“归一化”的协方差。
$$\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}$$
相关系数是用协方差除以两个随机变量的标准差。相关系数的大小在-1和1之间变化，等于0表示不相关。再也不会出现因为计量单位变化，而数值变化较大的情况，而相关系数的大小的含义与协方差是一样的。
需要注意的是上面提到的相关均指线性相关，$X, Y$ 不相关是指 $X,Y$ 之间不存在线性关系，但是他们还可能存在除线性关系以外的关系。因此，有以下结论: $X,Y$ 相互独立则 $X,Y$ 一定不相关；反之 $X,Y$ 不相关，两者不一定相互独立。
简单的证明如下：
当 $X,Y$ 相互独立的时候有 $E(XY) = E(X)E(Y)$ ， 根据上面协方差的展开式
$Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$
此时协方差为零，两者不相关。
而当 $X, Y$ 不相关的时候举一个反例如下：
上面的例子来源于https://www.zhihu.com/question/26583332, 可知计算出来的协方差为0，即两者不相关，但是 $P(XY) \neq P(X)P(Y)$,即 两者不独立，注意 $E(XY) = E(X)E(Y)$ 不是 $X,Y$ 独立的充分条件。
矩和协方差矩阵
下面介绍概率论中几种矩的定义
设 $X,Y$ 为随机变量,则
$E(X^k), k=1,2,3….$ 称为 $X$ 的 $k$ 阶原点矩，简称 $k$ 阶矩
$E((X-E[X])^k), k=1,2,3….$ 称为 $X$ 的 $k$ 阶中心距
$E(X^kY^l),k,l=1,2,…$ 称为 $X$ 和 $Y$ 的 $k+l$ 阶混合矩
$E((X-E[X])^k(Y-E[Y])^l)),k,l=1,2,…$称为$X$ 和 $Y$ 的 $k+l$ 阶混合中心矩
由以上定义我们可以知道，随机变量的期望是其一阶原点矩，方差是其二阶中心距，协方差是其二阶混合中心矩。
除此之外，另外一个常用的概念是协方差矩阵， 其定义如下：
对于 $n$ 维随机变量 $(X_1,X_2,X_3…,X_n)$ 构成的矩阵
$$C=
\begin{bmatrix}
c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1n} \\
c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nn} \\
\end{bmatrix}
$$
其中各个元素为$$c_{ij} = Cov(X_i,X_j) = E((X_i - E[X_i])(X_j - E[X_j]))，i,j=1,2,3..n$$
则称矩阵 $C$ 为协方差矩阵，由于$c_{ij} = c_{ji}$ ， 因此上面的矩阵为一个对称矩阵。
协方差矩阵其实是将二维随机变量的协方差一般化后拓展到了 $n$ 维随机变量上的一种表示形式，但是除了作为一种表示形式以外，协方差矩阵还存在着某些性质使得其在多个领域均有应用，如主成成分分析。